Mixtures in seconds: the alligation (cross) rule

मिश्रण के सवाल सेकंडों में: एलिगेशन (क्रॉस) नियम

When two things with different prices (or strengths, or profit rates) are mixed to get a mean value, the quantities are in the ratio (dearer − mean) : (mean − cheaper). Draw the cross, subtract, and read the ratio.

जब अलग-अलग दाम (या सांद्रता, या लाभ प्रतिशत) वाली दो चीज़ें मिलाकर एक औसत मान मिले, तो मात्राओं का अनुपात (महँगा − औसत) : (औसत − सस्ता) होता है। क्रॉस बनाएँ, घटाएँ और अनुपात पढ़ें।

The rule

Write the cheaper value (c) on the left, the dearer value (d) on the right and the mean (m) in the middle. Subtract across the cross:

Cheaper quantity : Dearer quantity = (d − m) : (m − c)

सस्ती चीज़ की मात्रा : महँगी चीज़ की मात्रा = (महँगा − औसत) : (औसत − सस्ता)। औसत मान हमेशा दोनों मानों के बीच होना चाहिए।

Put cheaper (c) and dearer (d) on top, mean (m) in the middle. · ऊपर सस्ता (c) और महँगा (d), बीच में औसत (m) लिखें।
Under the cheaper one write d − m; under the dearer one write m − c. · सस्ते के नीचे d − m और महँगे के नीचे m − c लिखें।
Simplify the ratio. If a total quantity is given, split it in this ratio. · अनुपात को सरल करें; कुल मात्रा दी हो तो इसी अनुपात में बाँटें।

Example Rice at ₹30/kg is mixed with rice at ₹45/kg to get a mixture worth ₹40/kg. In what ratio? How much of each in 60 kg?

(45 − 40) : (40 − 30) = 5 : 10 = 1 : 2. In 60 kg: 20 kg of ₹30 rice and 40 kg of ₹45 rice. Check: (20 × 30 + 40 × 45) ÷ 60 = 2400 ÷ 60 = ₹40.

Example In what ratio must water be mixed with milk costing ₹60 per litre so that the mixture is worth ₹48 per litre?

Water costs ₹0. Water : milk = (60 − 48) : (48 − 0) = 12 : 48 = 1 : 4.

It works for percentages and profit too

The 'value' can be anything averaged by quantity: concentration (%), profit %, marks, speed per hour of work. The same cross gives the ratio.

'मान' कुछ भी हो सकता है जिसका औसत मात्रा के अनुसार निकले: प्रतिशत सांद्रता, लाभ %, अंक आदि। वही क्रॉस अनुपात देता है।

Example A 20% acid solution is mixed with a 50% acid solution to get a 30% solution. In what ratio?

(50 − 30) : (30 − 20) = 20 : 10 = 2 : 1 (two parts of the 20% solution, one part of the 50%).

Example A trader sells 50 kg of sugar, part at 10% profit and the rest at 20% profit, and gains 14% overall. How much did he sell at 10%?

(20 − 14) : (14 − 10) = 6 : 4 = 3 : 2 → 50 × 3/5 = 30 kg at 10% (and 20 kg at 20%).

Repeated replacement (take out and refill)

If x litres are taken out of V litres of a liquid and replaced with water, n times, the liquid left = V × (1 − x/V)ⁿ.

यदि V लीटर में से x लीटर निकालकर पानी भरा जाए और यह n बार हो, तो बचा द्रव = V × (1 − x/V)ⁿ।

Example A can holds 40 litres of milk. 4 litres are taken out and replaced with water; this is done twice. How much milk is left?

40 × (36/40)² = 40 × 0.81 = 32.4 litres.

Try it yourself · अभ्यास

Tea at ₹120/kg and ₹180/kg is mixed to sell at ₹160/kg (no profit). Ratio? · ₹120/kg और ₹180/kg की चाय को ₹160/kg की बनाने के लिए किस अनुपात में मिलाएँ?
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(180 − 160) : (160 − 120) = 20 : 40 = 1 : 2
In what ratio must water be mixed with milk costing ₹50/litre to get a mixture worth ₹40/litre? · ₹50/लीटर के दूध में पानी किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹40/लीटर का हो?
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Water : milk = (50 − 40) : (40 − 0) = 10 : 40 = 1 : 4
From 50 litres of milk, 5 litres are replaced with water three times. Milk left? · 50 लीटर दूध में से 5 लीटर निकालकर पानी भरना तीन बार हुआ। कितना दूध बचा?
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50 × (45/50)³ = 50 × 0.729 = 36.45 litres