CBSE Class 10 · Maths · Chapter 1कक्षा 10 · गणित · अध्याय 1
Real Numbers
वास्तविक संख्याएँ
The Fundamental Theorem of Arithmetic, finding HCF and LCM by prime factorisation (with word problems), and proving that numbers like √2, √3, √5 and 5 − √3 are irrational.
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, अभाज्य गुणनखंडन से म.स. (HCF) और ल.स. (LCM) निकालना (शाब्दिक प्रश्नों सहित), और यह सिद्ध करना कि √2, √3, √5 और 5 − √3 जैसी संख्याएँ अपरिमेय हैं।
Start here: the sweet-shop problemशुरुआत: मिठाई की दुकान की समस्या
The Fundamental Theorem of Arithmeticअंकगणित की आधारभूत प्रमेय
A prime number has exactly two factors, 1 and itself (2, 3, 5, 7, 11, …). A composite number has more than two factors (4, 6, 8, 9, …). The number 1 is neither prime nor composite.
Take any composite number and keep splitting it into factors until every piece is prime. However you start, you always end with the same primes, only perhaps in a different order. This fact has a name.
अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं, 1 और वह स्वयं (2, 3, 5, 7, 11, …)। भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं (4, 6, 8, 9, …)। संख्या 1 न अभाज्य है, न भाज्य।
कोई भी भाज्य संख्या लीजिए और उसे तब तक गुणनखंडों में तोड़ते रहिए जब तक हर टुकड़ा अभाज्य न हो जाए। आप कहीं से भी शुरू करें, अंत में हमेशा वही अभाज्य संख्याएँ मिलती हैं, बस क्रम अलग हो सकता है। इसी तथ्य का एक नाम है।
Every composite number = product of primes (unique, apart from the order)
Fundamental Theorem of Arithmetic: every composite number can be written as a product of primes, and this factorisation is unique except for the order in which the primes appear.
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय: हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडन अद्वितीय है — केवल अभाज्यों के आने का क्रम बदल सकता है।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Express 3825 as a product of its prime factors.
3825 को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
- 3825 ends in 5, so divide by 5: 3825 = 5 × 7653825 के अंत में 5 है, इसलिए 5 से भाग दें: 3825 = 5 × 765
- 765 = 5 × 153765 = 5 × 153
- 153: digit sum 9, so divide by 3: 153 = 3 × 51153: अंकों का योग 9, इसलिए 3 से भाग दें: 153 = 3 × 51
- 51 = 3 × 17, and 17 is prime51 = 3 × 17, और 17 अभाज्य है
- So 3825 = 5 × 5 × 3 × 3 × 17इसलिए 3825 = 5 × 5 × 3 × 3 × 17
Answerउत्तर: 3825 = 3² × 5² × 173825 = 3² × 5² × 17
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Check whether 12ⁿ can end with the digit 0 for any natural number n.
जाँचिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए 12ⁿ के अंत में अंक 0 आ सकता है।
- A number ending in 0 is divisible by 10 = 2 × 5, so 5 must appear in its prime factorisation.जिस संख्या के अंत में 0 हो, वह 10 = 2 × 5 से विभाज्य है, इसलिए उसके अभाज्य गुणनखंडन में 5 होना ज़रूरी है।
- 12 = 2² × 3, so 12ⁿ = 2²ⁿ × 3ⁿ.12 = 2² × 3, इसलिए 12ⁿ = 2²ⁿ × 3ⁿ।
- The only primes in 12ⁿ are 2 and 3. By the uniqueness in the Fundamental Theorem, no other prime (such as 5) can appear.12ⁿ में केवल अभाज्य 2 और 3 हैं। आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता के कारण कोई और अभाज्य (जैसे 5) इसमें नहीं आ सकता।
Answerउत्तर: No. 12ⁿ never ends in 0.नहीं। 12ⁿ के अंत में कभी 0 नहीं आता।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Is 5 × 7 × 11 + 7 a prime or a composite number?
5 × 7 × 11 + 7 अभाज्य संख्या है या भाज्य?
- Take 7 common: 5 × 7 × 11 + 7 = 7 × (5 × 11 + 1)7 उभयनिष्ठ लें: 5 × 7 × 11 + 7 = 7 × (5 × 11 + 1)
- = 7 × 56 = 392= 7 × 56 = 392
- It has factors other than 1 and itself (7 and 56)इसके 1 और स्वयं के अलावा भी गुणनखंड हैं (7 और 56)
Answerउत्तर: Composite (392 = 2³ × 7²).भाज्य (392 = 2³ × 7²)।
HCF and LCM by prime factorisationअभाज्य गुणनखंडन से म.स. और ल.स.
Rememberयाद रखें
- First write each number as a product of prime powers.पहले हर संख्या को अभाज्य संख्याओं की घातों के गुणनफल के रूप में लिखें।
- HCF = product of the SMALLEST power of each prime that is common to all the numbers.म.स. (HCF) = सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ हर अभाज्य की सबसे छोटी घात का गुणनफल।
- LCM = product of the GREATEST power of every prime that appears in any of the numbers.ल.स. (LCM) = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।
- For any two positive integers a and b: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b.किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए: HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b।
- This product rule is only for TWO numbers. It does not work for three numbers.यह गुणनफल वाला नियम केवल दो संख्याओं के लिए है। तीन संख्याओं पर यह लागू नहीं होता।
HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
Valid for any two positive integers a and b.
किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए मान्य।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Find the HCF and LCM of 84 and 120 by prime factorisation, and verify HCF × LCM = product of the numbers.
अभाज्य गुणनखंडन से 84 और 120 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए, और जाँचिए कि म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल।
- 84 = 2² × 3 × 7, 120 = 2³ × 3 × 584 = 2² × 3 × 7, 120 = 2³ × 3 × 5
- Common primes 2 and 3; smallest powers 2² and 3¹ → HCF = 4 × 3 = 12उभयनिष्ठ अभाज्य 2 और 3; सबसे छोटी घातें 2² और 3¹ → म.स. = 4 × 3 = 12
- All primes with greatest powers: 2³, 3, 5, 7 → LCM = 8 × 3 × 5 × 7 = 840सभी अभाज्य, सबसे बड़ी घातों के साथ: 2³, 3, 5, 7 → ल.स. = 8 × 3 × 5 × 7 = 840
- HCF × LCM = 12 × 840 = 10080; 84 × 120 = 10080म.स. × ल.स. = 12 × 840 = 10080; 84 × 120 = 10080
Answerउत्तर: HCF = 12, LCM = 840, and 12 × 840 = 84 × 120 = 10080 ✓म.स. = 12, ल.स. = 840, और 12 × 840 = 84 × 120 = 10080 ✓
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Find the HCF and LCM of 18, 24 and 60.
18, 24 और 60 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।
- 18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3, 60 = 2² × 3 × 518 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3, 60 = 2² × 3 × 5
- Common primes: 2 and 3 (5 is not in 18 or 24). Smallest powers: 2¹, 3¹ → HCF = 6उभयनिष्ठ अभाज्य: 2 और 3 (5 न 18 में है, न 24 में)। सबसे छोटी घातें: 2¹, 3¹ → म.स. = 6
- Greatest powers: 2³, 3², 5 → LCM = 8 × 9 × 5 = 360सबसे बड़ी घातें: 2³, 3², 5 → ल.स. = 8 × 9 × 5 = 360
- Note: 6 × 360 = 2160, but 18 × 24 × 60 = 25920 — the product rule fails for three numbersध्यान दें: 6 × 360 = 2160, पर 18 × 24 × 60 = 25920 — तीन संख्याओं पर गुणनफल वाला नियम लागू नहीं होता
Answerउत्तर: HCF = 6, LCM = 360म.स. = 6, ल.स. = 360
| Clue in the question · प्रश्न में संकेत | Use · प्रयोग करें | Example · उदाहरण |
|---|---|---|
| Greatest / maximum size that divides exactly · सबसे बड़ा माप जो पूरा बाँटे | HCF · म.स. | Biggest box, longest tape, most rows · सबसे बड़ा डिब्बा, सबसे लंबा फीता |
| Smallest / next time things happen together · सबसे छोटा / अगली बार साथ-साथ | LCM · ल.स. | Bells ringing together, lights turning green together · घंटियाँ साथ बजना, बत्तियाँ साथ हरी होना |
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Two school bells ring every 18 minutes and every 24 minutes. They ring together at 9:00 a.m. When will they next ring together?
स्कूल की दो घंटियाँ हर 18 मिनट और हर 24 मिनट पर बजती हैं। वे सुबह 9:00 बजे एक साथ बजती हैं। वे अगली बार एक साथ कब बजेंगी?
- "Next time together" → LCM"अगली बार एक साथ" → ल.स.
- 18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3 → LCM = 2³ × 3² = 7218 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3 → ल.स. = 2³ × 3² = 72
- 72 minutes = 1 hour 12 minutes after 9:00 a.m.72 मिनट = सुबह 9:00 के 1 घंटा 12 मिनट बाद
Answerउत्तर: At 10:12 a.m.सुबह 10:12 बजे
Irrational numbers and how to prove themअपरिमेय संख्याएँ और उन्हें सिद्ध करना
A rational number can be written as p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. A number that cannot be written this way is irrational: √2, √3, √5, π, and in general √n when n is a positive integer that is not a perfect square. Rational and irrational numbers together make up the real numbers.
To prove a number is irrational we use proof by contradiction: assume it IS rational, follow the logic, and reach something impossible. The key tool is the theorem below.
परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। जो संख्या इस रूप में न लिखी जा सके, वह अपरिमेय है: √2, √3, √5, π, और सामान्यतः √n जब n ऐसा धनात्मक पूर्णांक हो जो पूर्ण वर्ग नहीं है। परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाती हैं।
किसी संख्या को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए हम विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का प्रयोग करते हैं: मान लेते हैं कि वह परिमेय है, तर्क आगे बढ़ाते हैं, और किसी असंभव निष्कर्ष पर पहुँचते हैं। मुख्य औज़ार नीचे वाली प्रमेय है।
p prime and p divides a² ⟹ p divides a
Theorem (a a positive integer). Reason: by the Fundamental Theorem, the primes in a² are exactly the primes in a, each appearing twice as often. So if p is a prime factor of a², it must already be a prime factor of a.
प्रमेय (a एक धनात्मक पूर्णांक)। कारण: आधारभूत प्रमेय से, a² के अभाज्य ठीक वही हैं जो a के हैं, बस हर एक दोगुनी बार आता है। इसलिए यदि p, a² का अभाज्य गुणनखंड है, तो वह पहले से a का अभाज्य गुणनखंड होगा।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Prove that √2 is irrational.
सिद्ध कीजिए कि √2 अपरिमेय है।
- Suppose √2 is rational. Then √2 = a/b, where a and b are integers, b ≠ 0, and a, b are co-prime (no common factor other than 1 — we can always cancel common factors first).मान लीजिए √2 परिमेय है। तब √2 = a/b, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, b ≠ 0, और a, b सह-अभाज्य हैं (1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं — उभयनिष्ठ गुणनखंड हम पहले ही काट सकते हैं)।
- So √2 b = a. Squaring: 2b² = a². Hence 2 divides a², so (by the theorem) 2 divides a.तो √2 b = a। वर्ग करने पर: 2b² = a²। अतः 2, a² को विभाजित करता है, इसलिए (प्रमेय से) 2, a को विभाजित करता है।
- Write a = 2c for some integer c. Then 2b² = 4c², so b² = 2c². Hence 2 divides b², so 2 divides b.किसी पूर्णांक c के लिए a = 2c लिखें। तब 2b² = 4c², यानी b² = 2c²। अतः 2, b² को विभाजित करता है, इसलिए 2, b को विभाजित करता है।
- Now 2 divides both a and b. This contradicts our assumption that a and b are co-prime.अब 2, a और b दोनों को विभाजित करता है। यह हमारी इस मान्यता के विरुद्ध है कि a और b सह-अभाज्य हैं।
- The contradiction came from assuming √2 is rational, so that assumption is false.यह विरोधाभास √2 को परिमेय मानने से आया, इसलिए वह मान्यता गलत है।
Answerउत्तर: √2 is irrational. (The same steps with 3 or 5 in place of 2 prove √3 and √5 irrational.)√2 अपरिमेय है। (2 की जगह 3 या 5 रखकर यही चरण √3 और √5 को अपरिमेय सिद्ध करते हैं।)
Rememberयाद रखें
- rational + irrational = irrational (e.g. 5 − √3, 2 + √5).परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय (जैसे 5 − √3, 2 + √5)।
- non-zero rational × irrational = irrational (e.g. 3√2, √5/4).शून्येतर परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय (जैसे 3√2, √5/4)।
- irrational + irrational, or irrational × irrational, can be rational: √2 + (−√2) = 0 and √2 × √2 = 2.अपरिमेय + अपरिमेय, या अपरिमेय × अपरिमेय, परिमेय भी हो सकता है: √2 + (−√2) = 0 और √2 × √2 = 2।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Given that √3 is irrational, prove that 5 − √3 is irrational.
दिया है कि √3 अपरिमेय है, सिद्ध कीजिए कि 5 − √3 अपरिमेय है।
- Suppose 5 − √3 is rational: 5 − √3 = a/b, with a, b integers and b ≠ 0.मान लीजिए 5 − √3 परिमेय है: 5 − √3 = a/b, जहाँ a, b पूर्णांक हैं और b ≠ 0।
- Then √3 = 5 − a/b = (5b − a)/b.तब √3 = 5 − a/b = (5b − a)/b।
- Since a, b are integers, (5b − a)/b is rational, so √3 would be rational.क्योंकि a, b पूर्णांक हैं, (5b − a)/b परिमेय है, इसलिए √3 भी परिमेय होगा।
- This contradicts the fact that √3 is irrational.यह इस तथ्य के विरुद्ध है कि √3 अपरिमेय है।
Answerउत्तर: 5 − √3 is irrational.5 − √3 अपरिमेय है।
Common mistakesआम गलतियाँ
Common mistakesआम गलतियाँ
- Calling 1 a prime number. It is neither prime nor composite.1 को अभाज्य संख्या कहना। यह न अभाज्य है, न भाज्य।
- Stopping a factor tree too early (e.g. leaving 9 or 15 as a "factor") — every final factor must be prime.गुणनखंड वृक्ष को जल्दी रोक देना (जैसे 9 या 15 को "गुणनखंड" छोड़ देना) — हर अंतिम गुणनखंड अभाज्य होना चाहिए।
- For HCF, taking the greatest power, or including a prime that is not common to all the numbers.म.स. के लिए सबसे बड़ी घात लेना, या ऐसा अभाज्य जोड़ लेना जो सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ नहीं है।
- Using HCF × LCM = product for three numbers.तीन संख्याओं के लिए म.स. × ल.स. = गुणनफल का प्रयोग करना।
- In an irrationality proof, forgetting to say that a and b are co-prime — the contradiction depends on it.अपरिमेयता की उपपत्ति में यह लिखना भूल जाना कि a और b सह-अभाज्य हैं — विरोधाभास इसी पर टिका है।
- Saying "√2 × √2 is irrational" — the product of two irrationals can be rational."√2 × √2 अपरिमेय है" कहना — दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल परिमेय हो सकता है।
- Mixing up HCF and LCM in word problems: "greatest that divides" is HCF, "next time together" is LCM.शाब्दिक प्रश्नों में म.स. और ल.स. में उलझना: "सबसे बड़ा जो बाँटे" म.स. है, "अगली बार साथ" ल.स. है।
Exam questions with answersपरीक्षा के प्रश्न उत्तर सहित
Questions in the format of the CBSE board paper, with model answers. Try each one yourself first, then open the answer.
सीबीएसई बोर्ड पेपर के प्रारूप में प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। पहले खुद हल करें, फिर उत्तर खोलें।
The HCF of the smallest prime number and the smallest composite number is: (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8
सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का म.स. है: (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8
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(b) The smallest prime is 2 and the smallest composite is 4. HCF(2, 4) = 2.
(b) सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 और सबसे छोटी भाज्य संख्या 4 है। HCF(2, 4) = 2।
In the prime factorisation of 144, the exponent of 2 is: (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5
144 के अभाज्य गुणनखंडन में 2 की घात है: (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5
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(c) 144 = 2⁴ × 3².
(c) 144 = 2⁴ × 3²।
If p and q are two distinct prime numbers, then LCM(p, q) is: (a) 1 (b) p + q (c) pq (d) p − q
यदि p और q दो भिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, तो LCM(p, q) है: (a) 1 (b) p + q (c) pq (d) p − q
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(c) Distinct primes share no factor (HCF = 1), so LCM = pq ÷ 1 = pq. Example: LCM(17, 23) = 391 = 17 × 23.
(c) भिन्न अभाज्यों में कोई साझा गुणनखंड नहीं (म.स. = 1), इसलिए ल.स. = pq ÷ 1 = pq। उदाहरण: LCM(17, 23) = 391 = 17 × 23।
Which of the following is irrational? (a) √16 (b) 22/7 (c) √7 (d) 0.3
इनमें से कौन अपरिमेय है? (a) √16 (b) 22/7 (c) √7 (d) 0.3
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(c) 7 is not a perfect square, so √7 is irrational. √16 = 4, 22/7 is a fraction (only an approximation of π), and 0.3 = 3/10.
(c) 7 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए √7 अपरिमेय है। √16 = 4, 22/7 एक भिन्न है (π का केवल सन्निकट मान), और 0.3 = 3/10।
Assertion (A): For 12 and 18, HCF × LCM = 216. Reason (R): For any two positive integers a and b, HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b. (a) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A. (b) Both A and R are true, but R is not the correct explanation of A. (c) A is true, but R is false. (d) A is false, but R is true.
अभिकथन (A): 12 और 18 के लिए, म.स. × ल.स. = 216। कारण (R): किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b। (a) A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (b) A और R दोनों सही हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है। (c) A सही है, पर R गलत है। (d) A गलत है, पर R सही है।
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(a) HCF = 6, LCM = 36, and 6 × 36 = 216 = 12 × 18. R is the rule that explains A.
(a) म.स. = 6, ल.स. = 36, और 6 × 36 = 216 = 12 × 18। R वही नियम है जो A को समझाता है।
Assertion (A): √4 is an irrational number. Reason (R): The square root of a positive integer that is not a perfect square is irrational. (a) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A. (b) Both A and R are true, but R is not the correct explanation of A. (c) A is true, but R is false. (d) A is false, but R is true.
अभिकथन (A): √4 एक अपरिमेय संख्या है। कारण (R): जो धनात्मक पूर्णांक पूर्ण वर्ग नहीं है, उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। (a) A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (b) A और R दोनों सही हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है। (c) A सही है, पर R गलत है। (d) A गलत है, पर R सही है।
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(d) A is false: √4 = 2, which is rational (4 is a perfect square). R is a true statement.
(d) A गलत है: √4 = 2, जो परिमेय है (4 पूर्ण वर्ग है)। R सही कथन है।
Express 156 as a product of its prime factors.
156 को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
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156 = 2 × 78 = 2 × 2 × 39 = 2 × 2 × 3 × 13, i.e. 156 = 2² × 3 × 13.
156 = 2 × 78 = 2 × 2 × 39 = 2 × 2 × 3 × 13, यानी 156 = 2² × 3 × 13।
The HCF of 120 and 144 is 24. Find their LCM.
120 और 144 का म.स. 24 है। उनका ल.स. ज्ञात कीजिए।
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LCM = (120 × 144) ÷ HCF = 17280 ÷ 24 = 720.
ल.स. = (120 × 144) ÷ म.स. = 17280 ÷ 24 = 720।
Explain why 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 3 is a composite number.
समझाइए कि 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 3 एक भाज्य संख्या क्यों है।
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6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 3 = 3 × (6 × 5 × 4 × 2 × 1 + 1) = 3 × 241 = 723. It has the factor 3 besides 1 and itself, so it is composite.
6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 3 = 3 × (6 × 5 × 4 × 2 × 1 + 1) = 3 × 241 = 723। 1 और स्वयं के अलावा इसका गुणनखंड 3 भी है, इसलिए यह भाज्य है।
Check whether 8ⁿ can end with the digit 0 for any natural number n.
जाँचिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए 8ⁿ के अंत में अंक 0 आ सकता है।
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To end in 0, 8ⁿ would need both 2 and 5 as prime factors. 8ⁿ = (2³)ⁿ = 2³ⁿ: its only prime factor is 2. By the uniqueness of prime factorisation, 5 can never be a factor. So 8ⁿ never ends in 0.
अंत में 0 आने के लिए 8ⁿ के अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों होने चाहिए। 8ⁿ = (2³)ⁿ = 2³ⁿ: इसका एकमात्र अभाज्य गुणनखंड 2 है। अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता से 5 कभी गुणनखंड नहीं हो सकता। इसलिए 8ⁿ के अंत में कभी 0 नहीं आता।
Find the HCF and LCM of 540 and 126 by prime factorisation.
अभाज्य गुणनखंडन से 540 और 126 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए।
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540 = 2² × 3³ × 5, 126 = 2 × 3² × 7 HCF = 2 × 3² = 18 (smallest powers of the common primes 2 and 3) LCM = 2² × 3³ × 5 × 7 = 3780 Check: 18 × 3780 = 68040 = 540 × 126 ✓
540 = 2² × 3³ × 5, 126 = 2 × 3² × 7 म.स. = 2 × 3² = 18 (उभयनिष्ठ अभाज्यों 2 और 3 की सबसे छोटी घातें) ल.स. = 2² × 3³ × 5 × 7 = 3780 जाँच: 18 × 3780 = 68040 = 540 × 126 ✓
A sweet seller has 336 kaju katli and 240 besan laddoos. He packs them in boxes, each box holding only one kind and the same number of sweets. What is the greatest number of sweets per box, and how many boxes are needed?
एक मिठाई वाले के पास 336 काजू कतली और 240 बेसन के लड्डू हैं। वह उन्हें डिब्बों में भरता है; हर डिब्बे में एक ही तरह की और बराबर संख्या में मिठाइयाँ हों। हर डिब्बे में अधिकतम कितनी मिठाइयाँ होंगी, और कितने डिब्बे लगेंगे?
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Greatest number that divides both exactly → HCF. 336 = 2⁴ × 3 × 7, 240 = 2⁴ × 3 × 5 HCF = 2⁴ × 3 = 48 sweets per box. Boxes = 336 ÷ 48 + 240 ÷ 48 = 7 + 5 = 12.
दोनों को पूरा बाँटने वाली सबसे बड़ी संख्या → म.स.। 336 = 2⁴ × 3 × 7, 240 = 2⁴ × 3 × 5 म.स. = 2⁴ × 3 = 48 मिठाइयाँ प्रति डिब्बा। डिब्बे = 336 ÷ 48 + 240 ÷ 48 = 7 + 5 = 12।
Prove that √3 is irrational.
सिद्ध कीजिए कि √3 अपरिमेय है।
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Suppose √3 is rational: √3 = a/b, where a, b are co-prime integers and b ≠ 0. Then 3b² = a², so 3 divides a², hence 3 divides a (3 is prime). Let a = 3c. Then 3b² = 9c², so b² = 3c². So 3 divides b², hence 3 divides b. 3 divides both a and b, contradicting that a and b are co-prime. So our assumption is wrong and √3 is irrational.
मान लीजिए √3 परिमेय है: √3 = a/b, जहाँ a, b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0। तब 3b² = a², इसलिए 3, a² को विभाजित करता है, अतः 3, a को विभाजित करता है (3 अभाज्य है)। माना a = 3c। तब 3b² = 9c², यानी b² = 3c²। इसलिए 3, b² को विभाजित करता है, अतः 3, b को विभाजित करता है। 3, a और b दोनों को विभाजित करता है, जो a और b के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। अतः हमारी मान्यता गलत है और √3 अपरिमेय है।
Given that √2 is irrational, prove that 4 − 3√2 is irrational.
दिया है कि √2 अपरिमेय है, सिद्ध कीजिए कि 4 − 3√2 अपरिमेय है।
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Suppose 4 − 3√2 = a/b, with a, b integers, b ≠ 0. Then 3√2 = 4 − a/b = (4b − a)/b, so √2 = (4b − a)/(3b). (4b − a) and 3b are integers and 3b ≠ 0, so the right side is rational — that would make √2 rational. This contradicts the fact that √2 is irrational. Hence 4 − 3√2 is irrational.
मान लीजिए 4 − 3√2 = a/b, जहाँ a, b पूर्णांक हैं, b ≠ 0। तब 3√2 = 4 − a/b = (4b − a)/b, इसलिए √2 = (4b − a)/(3b)। (4b − a) और 3b पूर्णांक हैं और 3b ≠ 0, इसलिए दायाँ पक्ष परिमेय है — इससे √2 परिमेय हो जाएगा। यह इस तथ्य के विरुद्ध है कि √2 अपरिमेय है। अतः 4 − 3√2 अपरिमेय है।
Three traffic signals on a road change to green every 48 seconds, 72 seconds and 108 seconds respectively. All three turned green together at 7:00 a.m. (i) Write the prime factorisation of 108. (ii) Find the HCF of 48 and 72. (iii) After how many seconds will all three turn green together again? (iv) At what time will that happen?
एक सड़क पर तीन ट्रैफ़िक सिग्नल क्रमशः हर 48 सेकंड, 72 सेकंड और 108 सेकंड पर हरे होते हैं। तीनों सुबह 7:00 बजे एक साथ हरे हुए। (i) 108 का अभाज्य गुणनखंडन लिखिए। (ii) 48 और 72 का म.स. ज्ञात कीजिए। (iii) कितने सेकंड बाद तीनों फिर एक साथ हरे होंगे? (iv) यह किस समय होगा?
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(i) 108 = 2² × 3³ (ii) 48 = 2⁴ × 3, 72 = 2³ × 3² → HCF = 2³ × 3 = 24 (iii) "Together again" → LCM(48, 72, 108) = 2⁴ × 3³ = 432 seconds (iv) 432 s = 7 min 12 s, so at 7:07:12 a.m.
(i) 108 = 2² × 3³ (ii) 48 = 2⁴ × 3, 72 = 2³ × 3² → म.स. = 2³ × 3 = 24 (iii) "फिर एक साथ" → LCM(48, 72, 108) = 2⁴ × 3³ = 432 सेकंड (iv) 432 सेकंड = 7 मिनट 12 सेकंड, इसलिए सुबह 7:07:12 बजे।
(a) Prove that √5 is irrational. (b) Hence show that 2 + √5 is irrational. (c) Give an example to show that the sum of two irrational numbers need not be irrational.
(a) सिद्ध कीजिए कि √5 अपरिमेय है। (b) इससे दर्शाइए कि 2 + √5 अपरिमेय है। (c) एक उदाहरण दीजिए जिससे पता चले कि दो अपरिमेय संख्याओं का योग अपरिमेय होना ज़रूरी नहीं।
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(a) Suppose √5 = a/b, with a, b co-prime integers, b ≠ 0. Then 5b² = a², so 5 divides a², hence 5 divides a (5 is prime). Let a = 5c: 5b² = 25c², so b² = 5c², so 5 divides b² and hence b. Then 5 is a common factor of a and b — a contradiction. So √5 is irrational. (b) Suppose 2 + √5 = p/q (p, q integers, q ≠ 0). Then √5 = p/q − 2 = (p − 2q)/q, which is rational — contradicting (a). So 2 + √5 is irrational. (c) (2 + √5) + (2 − √5) = 4. Both numbers are irrational but their sum, 4, is rational.
(a) मान लीजिए √5 = a/b, जहाँ a, b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, b ≠ 0। तब 5b² = a², इसलिए 5, a² को और अतः a को विभाजित करता है (5 अभाज्य है)। माना a = 5c: 5b² = 25c², यानी b² = 5c², इसलिए 5, b² को और अतः b को विभाजित करता है। तब 5, a और b का उभयनिष्ठ गुणनखंड है — विरोधाभास। अतः √5 अपरिमेय है। (b) मान लीजिए 2 + √5 = p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0)। तब √5 = p/q − 2 = (p − 2q)/q, जो परिमेय है — यह (a) के विरुद्ध है। अतः 2 + √5 अपरिमेय है। (c) (2 + √5) + (2 − √5) = 4। दोनों संख्याएँ अपरिमेय हैं पर उनका योग 4 परिमेय है।
Can two numbers have 18 as their HCF and 380 as their LCM? Give a reason.
क्या दो संख्याओं का म.स. 18 और ल.स. 380 हो सकता है? कारण दीजिए।
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No. The HCF always divides the LCM exactly (both numbers are multiples of the HCF, so their LCM is too). 380 ÷ 18 = 21 remainder 2, so 18 does not divide 380.
नहीं। म.स. हमेशा ल.स. को पूरा-पूरा विभाजित करता है (दोनों संख्याएँ म.स. की गुणज हैं, इसलिए उनका ल.स. भी है)। 380 ÷ 18 = 21, शेष 2, इसलिए 18, 380 को विभाजित नहीं करता।
Find the smallest number which, when divided by 12, 16 and 24, leaves a remainder of 5 in each case.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16 और 24 से भाग देने पर हर बार शेषफल 5 बचे।
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The number minus 5 must be divisible by 12, 16 and 24, so it is a multiple of their LCM. 12 = 2² × 3, 16 = 2⁴, 24 = 2³ × 3 → LCM = 2⁴ × 3 = 48 Smallest number = 48 + 5 = 53. Check: 53 = 12 × 4 + 5 = 16 × 3 + 5 = 24 × 2 + 5 ✓
संख्या − 5 को 12, 16 और 24 से विभाज्य होना चाहिए, इसलिए वह उनके ल.स. का गुणज है। 12 = 2² × 3, 16 = 2⁴, 24 = 2³ × 3 → ल.स. = 2⁴ × 3 = 48 सबसे छोटी संख्या = 48 + 5 = 53। जाँच: 53 = 12 × 4 + 5 = 16 × 3 + 5 = 24 × 2 + 5 ✓
Quiz: 10 questionsक्विज़: 10 प्रश्न
Which of these is neither prime nor composite?इनमें से कौन न अभाज्य है, न भाज्य?
The prime factorisation of 1260 is:1260 का अभाज्य गुणनखंडन है:
HCF(84, 120) =HCF(84, 120) =
LCM(18, 24, 60) =LCM(18, 24, 60) =
Two numbers have HCF 24 and product 17280. Their LCM is:दो संख्याओं का म.स. 24 और गुणनफल 17280 है। उनका ल.स. है:
12ⁿ can never end in 0 because:12ⁿ के अंत में कभी 0 नहीं आता क्योंकि:
Which number is rational?कौन-सी संख्या परिमेय है?
In the proof that √2 is irrational, we assume √2 = a/b where a and b are:√2 के अपरिमेय होने की उपपत्ति में हम √2 = a/b मानते हैं, जहाँ a और b हैं:
Two bells ring every 18 and 24 minutes and ring together at 9:00 a.m. They next ring together at:दो घंटियाँ हर 18 और 24 मिनट पर बजती हैं और सुबह 9:00 बजे साथ बजती हैं। वे अगली बार साथ बजेंगी:
If a prime p divides a², then:यदि अभाज्य p, a² को विभाजित करता है, तो:
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