CBSE Class 10 · Maths · Chapter 4कक्षा 10 · गणित · अध्याय 4
Quadratic Equations
द्विघात समीकरण
What a quadratic equation is, solving it by factorisation and by the quadratic formula, the discriminant and the nature of roots, and word problems that lead to quadratic equations.
द्विघात समीकरण क्या है, गुणनखंड विधि और द्विघाती सूत्र से हल, विविक्तकर और मूलों की प्रकृति, तथा द्विघात समीकरण वाले शाब्दिक प्रश्न।
Start here: the garden puzzleशुरुआत: बगीचे की पहेली
What is a quadratic equation?द्विघात समीकरण क्या है?
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
Standard form of a quadratic equation in x. a, b and c are real numbers. If a were 0 there would be no x² term and the equation would be linear.
x में द्विघात समीकरण का मानक रूप। a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि a = 0 हो, तो x² वाला पद नहीं रहेगा और समीकरण रैखिक हो जाएगा।
To check whether an equation is quadratic, first simplify it completely: open brackets and bring every term to one side. It is quadratic only if the highest power of x left over is exactly 2.
A value of x that makes the equation true is called a root (or solution). A quadratic equation has at most two roots.
कोई समीकरण द्विघात है या नहीं, यह जाँचने के लिए पहले उसे पूरा सरल करें: कोष्ठक खोलें और सभी पद एक ओर ले आएँ। वह तभी द्विघात है जब बचे हुए x की सबसे बड़ी घात ठीक 2 हो।
x का वह मान जिससे समीकरण सत्य हो जाए, मूल (या हल) कहलाता है। किसी द्विघात समीकरण के अधिक से अधिक दो मूल होते हैं।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Is (x − 2)² + 1 = 2x − 3 a quadratic equation?
क्या (x − 2)² + 1 = 2x − 3 एक द्विघात समीकरण है?
- Open the bracket: x² − 4x + 4 + 1 = 2x − 3कोष्ठक खोलें: x² − 4x + 4 + 1 = 2x − 3
- Bring everything to the left: x² − 4x − 2x + 5 + 3 = 0सब कुछ बाईं ओर लाएँ: x² − 4x − 2x + 5 + 3 = 0
- Simplify: x² − 6x + 8 = 0सरल करें: x² − 6x + 8 = 0
Answerउत्तर: Yes: the highest power is 2 (a = 1, b = −6, c = 8).हाँ: सबसे बड़ी घात 2 है (a = 1, b = −6, c = 8)।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Is x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) a quadratic equation?
क्या x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) एक द्विघात समीकरण है?
- Left side: x² + x + 8. Right side: x² − 4बायाँ पक्ष: x² + x + 8। दायाँ पक्ष: x² − 4
- x² + x + 8 = x² − 4x² + x + 8 = x² − 4
- The x² terms cancel: x + 12 = 0x² वाले पद कट जाते हैं: x + 12 = 0
Answerउत्तर: No. After simplifying it is linear. Always simplify before deciding — the x² on both sides is a trap.नहीं। सरल करने पर यह रैखिक है। निर्णय से पहले हमेशा सरल करें — दोनों ओर का x² एक जाल है।
Solving by factorisationगुणनखंड विधि से हल
If a product of two numbers is zero, at least one of them is zero. So if we can write ax² + bx + c as a product of two linear factors, each factor set to zero gives a root.
Splitting the middle term: find two numbers whose product is a × c and whose sum is b. Write bx as the sum of those two terms, then group in pairs and take out common factors.
यदि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य है, तो उनमें से कम से कम एक शून्य है। इसलिए यदि ax² + bx + c को दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिख सकें, तो हर गुणनखंड को शून्य रखने पर एक मूल मिलता है।
मध्य पद को तोड़ना: ऐसी दो संख्याएँ ढूँढ़ें जिनका गुणनफल a × c और योग b हो। bx को उन दो पदों के योग के रूप में लिखें, फिर जोड़ियों में समूह बनाकर उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Solve 2x² − 5x + 3 = 0 by factorisation.
गुणनखंड विधि से 2x² − 5x + 3 = 0 हल कीजिए।
- a × c = 2 × 3 = 6. Two numbers with product 6 and sum −5: −2 and −3a × c = 2 × 3 = 6। गुणनफल 6 और योग −5 वाली दो संख्याएँ: −2 और −3
- 2x² − 2x − 3x + 3 = 02x² − 2x − 3x + 3 = 0
- 2x(x − 1) − 3(x − 1) = 02x(x − 1) − 3(x − 1) = 0
- (2x − 3)(x − 1) = 0(2x − 3)(x − 1) = 0
- 2x − 3 = 0 or x − 1 = 02x − 3 = 0 या x − 1 = 0
Answerउत्तर: x = 3/2 or x = 1x = 3/2 या x = 1
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Solve 6x² − x − 2 = 0.
6x² − x − 2 = 0 हल कीजिए।
- a × c = 6 × (−2) = −12. Product −12, sum −1: −4 and +3a × c = 6 × (−2) = −12। गुणनफल −12, योग −1: −4 और +3
- 6x² + 3x − 4x − 2 = 06x² + 3x − 4x − 2 = 0
- 3x(2x + 1) − 2(2x + 1) = 03x(2x + 1) − 2(2x + 1) = 0
- (3x − 2)(2x + 1) = 0(3x − 2)(2x + 1) = 0
Answerउत्तर: x = 2/3 or x = −1/2x = 2/3 या x = −1/2
Rememberयाद रखें
- Always make one side zero before factorising.गुणनखंड करने से पहले हमेशा एक पक्ष शून्य करें।
- Check: put each root back into the original equation.जाँच: हर मूल को मूल समीकरण में रखकर देखें।
- If you cannot find two suitable numbers quickly, use the quadratic formula — it always works.यदि दो उपयुक्त संख्याएँ जल्दी न मिलें, तो द्विघाती सूत्र लगाएँ — वह हमेशा काम करता है।
The quadratic formulaद्विघाती सूत्र
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Quadratic formula (Sridharacharya's formula) for the roots of ax² + bx + c = 0, valid when b² − 4ac ≥ 0.
ax² + bx + c = 0 के मूलों के लिए द्विघाती सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र), जब b² − 4ac ≥ 0 हो।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Solve 2x² + x − 4 = 0 using the quadratic formula.
द्विघाती सूत्र से 2x² + x − 4 = 0 हल कीजिए।
- a = 2, b = 1, c = −4a = 2, b = 1, c = −4
- b² − 4ac = 1 − 4(2)(−4) = 1 + 32 = 33b² − 4ac = 1 − 4(2)(−4) = 1 + 32 = 33
- x = (−1 ± √33) / (2 × 2)x = (−1 ± √33) / (2 × 2)
Answerउत्तर: x = (−1 + √33)/4 or x = (−1 − √33)/4. These do not factorise nicely, so the formula is the right tool here.x = (−1 + √33)/4 या x = (−1 − √33)/4। इनके गुणनखंड आसानी से नहीं बनते, इसलिए यहाँ सूत्र ही सही उपाय है।
Nature of roots: the discriminantमूलों की प्रकृति: विविक्तकर
D = b² − 4ac
The discriminant. It tells you what kind of roots the equation has without solving it.
विविक्तकर। यह हल किए बिना बताता है कि समीकरण के मूल किस प्रकार के हैं।
| Discriminant · विविक्तकर | Roots · मूल | Graph · ग्राफ़ |
|---|---|---|
| D > 0 | Two distinct real roots · दो भिन्न वास्तविक मूल | Cuts the x-axis twice · x-अक्ष को दो बार काटता है |
| D = 0 | Two equal real roots, x = −b/2a · दो बराबर वास्तविक मूल | Just touches the x-axis · x-अक्ष को केवल छूता है |
| D < 0 | No real roots · कोई वास्तविक मूल नहीं | Does not meet the x-axis · x-अक्ष से नहीं मिलता |
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
Find the nature of the roots of (i) 2x² − 4x + 3 = 0 and (ii) 9x² − 12x + 4 = 0.
(i) 2x² − 4x + 3 = 0 और (ii) 9x² − 12x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
- (i) D = (−4)² − 4(2)(3) = 16 − 24 = −8 < 0(i) D = (−4)² − 4(2)(3) = 16 − 24 = −8 < 0
- (ii) D = (−12)² − 4(9)(4) = 144 − 144 = 0(ii) D = (−12)² − 4(9)(4) = 144 − 144 = 0
- For (ii), x = −b/2a = 12/18 = 2/3(ii) के लिए x = −b/2a = 12/18 = 2/3
Answerउत्तर: (i) No real roots. (ii) Two equal roots, both 2/3.(i) कोई वास्तविक मूल नहीं। (ii) दो बराबर मूल, दोनों 2/3।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
For what value of k does kx² − 6x + 1 = 0 have two equal roots?
k के किस मान के लिए kx² − 6x + 1 = 0 के दो बराबर मूल होंगे?
- Equal roots means D = 0बराबर मूल यानी D = 0
- D = (−6)² − 4(k)(1) = 36 − 4kD = (−6)² − 4(k)(1) = 36 − 4k
- 36 − 4k = 0, so k = 936 − 4k = 0, इसलिए k = 9
Answerउत्तर: k = 9 (the equation becomes 9x² − 6x + 1 = 0, with both roots 1/3).k = 9 (समीकरण 9x² − 6x + 1 = 0 बनता है, दोनों मूल 1/3)।
Word problemsशाब्दिक प्रश्न
Rememberयाद रखें
- Call the unknown x and write every other quantity in terms of x.अज्ञात को x मानें और बाकी हर राशि x में लिखें।
- Form the equation from the condition given, then bring it to ax² + bx + c = 0.दी गई शर्त से समीकरण बनाएँ, फिर उसे ax² + bx + c = 0 रूप में लाएँ।
- Solve, then reject any root that makes no sense (a negative length, speed, age or count).हल करें, फिर वह मूल छोड़ दें जिसका कोई अर्थ न हो (ऋणात्मक लंबाई, चाल, आयु या संख्या)।
- Answer the question that was asked, with units.जो पूछा गया है उसका उत्तर इकाई सहित दें।
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
The product of two consecutive positive integers is 306. Find the integers.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
- Let them be x and x + 1: x(x + 1) = 306माना वे x और x + 1 हैं: x(x + 1) = 306
- x² + x − 306 = 0x² + x − 306 = 0
- Product −306, sum 1: 18 and −17 → (x + 18)(x − 17) = 0गुणनफल −306, योग 1: 18 और −17 → (x + 18)(x − 17) = 0
- x = 17 or x = −18; reject −18 (not positive)x = 17 या x = −18; −18 छोड़ें (धनात्मक नहीं)
Answerउत्तर: 17 and 1817 और 18
Solved exampleहल किया गया उदाहरण
A train travels 360 km at a uniform speed. If the speed had been 5 km/h more, it would have taken 1 hour less. Find the speed of the train.
एक रेलगाड़ी समान चाल से 360 km चलती है। यदि चाल 5 km/h अधिक होती, तो उसे 1 घंटा कम लगता। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
- Let the speed be x km/h. Time = 360/x hoursमाना चाल x km/h है। समय = 360/x घंटे
- 360/x − 360/(x + 5) = 1360/x − 360/(x + 5) = 1
- 360(x + 5) − 360x = x(x + 5) → 1800 = x² + 5x360(x + 5) − 360x = x(x + 5) → 1800 = x² + 5x
- x² + 5x − 1800 = 0; D = 25 + 7200 = 7225 = 85²x² + 5x − 1800 = 0; D = 25 + 7200 = 7225 = 85²
- x = (−5 ± 85)/2 → x = 40 or x = −45; reject −45x = (−5 ± 85)/2 → x = 40 या x = −45; −45 छोड़ें
Answerउत्तर: 40 km/h (check: 360/40 = 9 h and 360/45 = 8 h, one hour less).40 km/h (जाँच: 360/40 = 9 घंटे और 360/45 = 8 घंटे, एक घंटा कम)।
Common mistakesआम गलतियाँ
Common mistakesआम गलतियाँ
- Calling an equation quadratic (or not) without simplifying it first.बिना सरल किए किसी समीकरण को द्विघात कहना (या न कहना)।
- Dividing both sides by x to "simplify" — this loses the root x = 0."सरल करने" के लिए दोनों ओर x से भाग देना — इससे मूल x = 0 छूट जाता है।
- Getting the sign of b or c wrong when reading a, b, c. Write the equation in standard form first.a, b, c पढ़ते समय b या c का चिह्न गलत लेना। पहले समीकरण को मानक रूप में लिखें।
- Writing the formula with 2 instead of 2a in the denominator, or dividing only the √ part by 2a.सूत्र के हर में 2a की जगह 2 लिखना, या केवल √ वाले भाग को 2a से भाग देना।
- Keeping a negative root in a word problem about length, speed, age or count.लंबाई, चाल, आयु या संख्या वाले प्रश्न में ऋणात्मक मूल रख लेना।
- Saying "no roots" when D < 0. The correct phrase is "no real roots".D < 0 होने पर "कोई मूल नहीं" कहना। सही वाक्य है "कोई वास्तविक मूल नहीं"।
Exam questions with answersपरीक्षा के प्रश्न उत्तर सहित
Questions in the format of the CBSE board paper, with model answers. Try each one yourself first, then open the answer.
सीबीएसई बोर्ड पेपर के प्रारूप में प्रश्न, आदर्श उत्तरों के साथ। पहले खुद हल करें, फिर उत्तर खोलें।
Which of these is a quadratic equation? (a) x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) (b) (x + 1)² = 2(x − 3) (c) x³ − 4x² = 1 (d) 2x + 3 = 0
इनमें से कौन द्विघात समीकरण है? (a) x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) (b) (x + 1)² = 2(x − 3) (c) x³ − 4x² = 1 (d) 2x + 3 = 0
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(b) (x + 1)² = 2(x − 3) simplifies to x² + 2x + 1 = 2x − 6, i.e. x² + 7 = 0, which has degree 2. (a) becomes linear (x + 12 = 0), (c) is cubic and (d) is linear.
(b) (x + 1)² = 2(x − 3) सरल होकर x² + 2x + 1 = 2x − 6, यानी x² + 7 = 0 बनता है, जिसकी घात 2 है। (a) रैखिक (x + 12 = 0) बनता है, (c) त्रिघात है और (d) रैखिक है।
The discriminant of 2x² + 3x + 5 = 0 is: (a) 31 (b) −31 (c) 49 (d) −49
2x² + 3x + 5 = 0 का विविक्तकर है: (a) 31 (b) −31 (c) 49 (d) −49
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(b) D = 3² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31, so the equation has no real roots.
(b) D = 3² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
The roots of x² − 7x + 12 = 0 are: (a) 3, 4 (b) −3, −4 (c) 2, 6 (d) −2, −6
x² − 7x + 12 = 0 के मूल हैं: (a) 3, 4 (b) −3, −4 (c) 2, 6 (d) −2, −6
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(a) (x − 3)(x − 4) = 0. Quick check: sum of roots 7 and product 12.
(a) (x − 3)(x − 4) = 0। जल्दी जाँच: मूलों का योग 7 और गुणनफल 12।
Assertion (A): The equation x² − 4x + 4 = 0 has two equal real roots. Reason (R): If the discriminant of a quadratic equation is zero, its roots are real and equal. (a) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A. (b) Both A and R are true, but R is not the correct explanation of A. (c) A is true, but R is false. (d) A is false, but R is true.
अभिकथन (A): समीकरण x² − 4x + 4 = 0 के दो बराबर वास्तविक मूल हैं। कारण (R): यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर शून्य हो, तो उसके मूल वास्तविक और बराबर होते हैं। (a) A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (b) A और R दोनों सही हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है। (c) A सही है, पर R गलत है। (d) A गलत है, पर R सही है।
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(a) D = 16 − 16 = 0, so both roots equal 2. R is the rule that explains A.
(a) D = 16 − 16 = 0, इसलिए दोनों मूल 2 हैं। R वही नियम है जो A को समझाता है।
Assertion (A): x² + 16 = 0 has two real roots, 4 and −4. Reason (R): A quadratic equation has at most two roots. (a) Both A and R are true, and R is the correct explanation of A. (b) Both A and R are true, but R is not the correct explanation of A. (c) A is true, but R is false. (d) A is false, but R is true.
अभिकथन (A): x² + 16 = 0 के दो वास्तविक मूल 4 और −4 हैं। कारण (R): किसी द्विघात समीकरण के अधिक से अधिक दो मूल होते हैं। (a) A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है। (b) A और R दोनों सही हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है। (c) A सही है, पर R गलत है। (d) A गलत है, पर R सही है।
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(d) A is false: D = 0 − 64 = −64 < 0, so there are no real roots (4 and −4 are roots of x² − 16 = 0). R is true.
(d) A गलत है: D = 0 − 64 = −64 < 0, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं (4 और −4, x² − 16 = 0 के मूल हैं)। R सही है।
Write the condition for ax² + bx + c = 0 to be a quadratic equation.
ax² + bx + c = 0 के द्विघात समीकरण होने की शर्त लिखिए।
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a ≠ 0 (a, b, c real).
a ≠ 0 (a, b, c वास्तविक)।
Find the value of k for which kx² − 6x + 1 = 0 has equal roots.
k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए kx² − 6x + 1 = 0 के मूल बराबर हों।
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Equal roots: D = 0 → 36 − 4k = 0 → k = 9.
बराबर मूल: D = 0 → 36 − 4k = 0 → k = 9।
Solve by factorisation: x² − x − 12 = 0.
गुणनखंड विधि से हल कीजिए: x² − x − 12 = 0।
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Product −12, sum −1: −4 and 3 x² − 4x + 3x − 12 = 0 → x(x − 4) + 3(x − 4) = 0 → (x − 4)(x + 3) = 0 x = 4 or x = −3
गुणनफल −12, योग −1: −4 और 3 x² − 4x + 3x − 12 = 0 → x(x − 4) + 3(x − 4) = 0 → (x − 4)(x + 3) = 0 x = 4 या x = −3
Find two consecutive odd positive integers whose product is 143.
दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल 143 है।
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Let them be x and x + 2: x(x + 2) = 143 → x² + 2x − 143 = 0 Product −143, sum 2: 13 and −11 → (x + 13)(x − 11) = 0 x = 11 (reject −13, not positive) The integers are 11 and 13.
माना वे x और x + 2 हैं: x(x + 2) = 143 → x² + 2x − 143 = 0 गुणनफल −143, योग 2: 13 और −11 → (x + 13)(x − 11) = 0 x = 11 (−13 छोड़ें, धनात्मक नहीं) पूर्णांक 11 और 13 हैं।
Find the nature of the roots of 3x² − 2√6 x + 2 = 0. If real, find them.
3x² − 2√6 x + 2 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक हों, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।
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D = (2√6)² − 4(3)(2) = 24 − 24 = 0, so the roots are real and equal. x = −b/2a = 2√6/6 = √6/3 Both roots are √6/3.
D = (2√6)² − 4(3)(2) = 24 − 24 = 0, इसलिए मूल वास्तविक और बराबर हैं। x = −b/2a = 2√6/6 = √6/3 दोनों मूल √6/3 हैं।
The area of a rectangular plot is 180 m². Its length is 3 m more than its breadth. Find its length and breadth.
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 180 m² है। उसकी लंबाई, चौड़ाई से 3 m अधिक है। लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
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Breadth x m, length (x + 3) m: x(x + 3) = 180 → x² + 3x − 180 = 0 D = 9 + 720 = 729 = 27² → x = (−3 ± 27)/2 → x = 12 or −15 Reject −15. Breadth 12 m, length 15 m.
चौड़ाई x m, लंबाई (x + 3) m: x(x + 3) = 180 → x² + 3x − 180 = 0 D = 9 + 720 = 729 = 27² → x = (−3 ± 27)/2 → x = 12 या −15 −15 छोड़ें। चौड़ाई 12 m, लंबाई 15 m।
The sum of a positive number and its square is 20. Using a quadratic equation, find the number.
एक धनात्मक संख्या और उसके वर्ग का योग 20 है। द्विघात समीकरण से संख्या ज्ञात कीजिए।
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x + x² = 20 → x² + x − 20 = 0 → (x + 5)(x − 4) = 0 x = 4 (reject −5, not positive). The number is 4.
x + x² = 20 → x² + x − 20 = 0 → (x + 5)(x − 4) = 0 x = 4 (−5 छोड़ें, धनात्मक नहीं)। संख्या 4 है।
A train travels 360 km at a uniform speed. If the speed were 5 km/h more, it would take 1 hour less. Find its speed.
एक रेलगाड़ी समान चाल से 360 km चलती है। यदि चाल 5 km/h अधिक होती, तो 1 घंटा कम लगता। चाल ज्ञात कीजिए।
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360/x − 360/(x + 5) = 1 → 1800 = x(x + 5) → x² + 5x − 1800 = 0 D = 7225 = 85² → x = (−5 + 85)/2 = 40 (the other root −45 is rejected) Speed = 40 km/h.
360/x − 360/(x + 5) = 1 → 1800 = x(x + 5) → x² + 5x − 1800 = 0 D = 7225 = 85² → x = (−5 + 85)/2 = 40 (दूसरा मूल −45 छोड़ दिया) चाल = 40 km/h।
Two natural numbers differ by 4 and their product is 60. Find the numbers.
दो प्राकृत संख्याओं का अंतर 4 है और गुणनफल 60 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
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Let the numbers be x and x + 4: x(x + 4) = 60 → x² + 4x − 60 = 0 → (x + 10)(x − 6) = 0 x = 6 (reject −10, not natural). The numbers are 6 and 10.
माना संख्याएँ x और x + 4 हैं: x(x + 4) = 60 → x² + 4x − 60 = 0 → (x + 10)(x − 6) = 0 x = 6 (−10 छोड़ें, प्राकृत नहीं)। संख्याएँ 6 और 10 हैं।
The sum of the ages of Meera and her younger cousin is 15 years, and the product of their ages is 54. (i) Form the quadratic equation, taking Meera's cousin's age as x. (ii) Find both ages. (iii) Find the discriminant of the equation you formed. (iv) What will be the product of their ages 3 years later?
मीरा और उसकी छोटी चचेरी बहन की आयु का योग 15 वर्ष है और गुणनफल 54 है। (i) चचेरी बहन की आयु x मानकर द्विघात समीकरण बनाइए। (ii) दोनों की आयु ज्ञात कीजिए। (iii) बने समीकरण का विविक्तकर ज्ञात कीजिए। (iv) 3 वर्ष बाद उनकी आयु का गुणनफल क्या होगा?
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(i) Meera's age = 15 − x; x(15 − x) = 54 → x² − 15x + 54 = 0 (ii) (x − 6)(x − 9) = 0 → x = 6 or 9. The cousin is younger, so the cousin is 6 and Meera is 9. (iii) D = 225 − 216 = 9 (iv) 9 × 12 = 108
(i) मीरा की आयु = 15 − x; x(15 − x) = 54 → x² − 15x + 54 = 0 (ii) (x − 6)(x − 9) = 0 → x = 6 या 9। चचेरी बहन छोटी है, इसलिए वह 6 वर्ष की और मीरा 9 वर्ष की है। (iii) D = 225 − 216 = 9 (iv) 9 × 12 = 108
Find the nature of the roots of the following and solve those that have real roots: (i) 2x² − 4x + 3 = 0 (ii) 9x² − 12x + 4 = 0 (iii) 2x² + x − 4 = 0.
निम्न के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए और जिनके वास्तविक मूल हों उन्हें हल कीजिए: (i) 2x² − 4x + 3 = 0 (ii) 9x² − 12x + 4 = 0 (iii) 2x² + x − 4 = 0।
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(i) D = 16 − 24 = −8 < 0: no real roots. (ii) D = 144 − 144 = 0: equal roots, x = 12/18 = 2/3 (both). (iii) D = 1 + 32 = 33 > 0: two distinct real roots, x = (−1 ± √33)/4.
(i) D = 16 − 24 = −8 < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं। (ii) D = 144 − 144 = 0: बराबर मूल, x = 12/18 = 2/3 (दोनों)। (iii) D = 1 + 32 = 33 > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल, x = (−1 ± √33)/4।
Without solving, explain why the equation x² + x + 1 = 0 can never be satisfied by any real number x.
हल किए बिना समझाइए कि समीकरण x² + x + 1 = 0 किसी भी वास्तविक संख्या x से संतुष्ट क्यों नहीं हो सकता।
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D = 1 − 4 = −3 < 0, so there are no real roots. Another way to see it: x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4, a square (never negative) plus 3/4, so it is always at least 3/4 and can never be 0.
D = 1 − 4 = −3 < 0, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं। दूसरी तरह से: x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4, यानी एक वर्ग (कभी ऋणात्मक नहीं) और 3/4 का योग, इसलिए यह हमेशा कम से कम 3/4 है और कभी 0 नहीं हो सकता।
Quiz: 10 questionsक्विज़: 10 प्रश्न
Which value of a makes ax² + 3x + 1 = 0 NOT a quadratic equation?a के किस मान पर ax² + 3x + 1 = 0 द्विघात समीकरण नहीं रहता?
The roots of x² − 5x + 6 = 0 are:x² − 5x + 6 = 0 के मूल हैं:
The discriminant of 2x² − 4x + 3 = 0 is:2x² − 4x + 3 = 0 का विविक्तकर है:
If D = 0, the roots of a quadratic equation are:यदि D = 0 हो, तो द्विघात समीकरण के मूल हैं:
For which k does kx² − 6x + 1 = 0 have equal roots?k के किस मान पर kx² − 6x + 1 = 0 के मूल बराबर होंगे?
How many real roots does x² + 16 = 0 have?x² + 16 = 0 के कितने वास्तविक मूल हैं?
Two consecutive positive integers have product 306. The smaller one is:दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। छोटा पूर्णांक है:
In 6x² − x − 2 = 0, the middle term is split as:6x² − x − 2 = 0 में मध्य पद को कैसे तोड़ेंगे?
The quadratic formula gives x =द्विघाती सूत्र से x =
In a word problem the roots come out as 12 and −15 for the breadth of a field. The breadth is:किसी शाब्दिक प्रश्न में खेत की चौड़ाई के लिए मूल 12 और −15 आते हैं। चौड़ाई है:
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